Ratkaise a^2+6a+4=0

$$a ^ { 2 } + 6 a + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen (complex solution)

$$a=\sqrt{5}-3\approx -0,763932023$$

$$a=-\left(\sqrt{5}+3\right)\approx -5,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}+6a+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2}$$

Kerro -4 ja 4.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -16.

$$a=\frac{-6±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{5}.

$$a=\frac{2\sqrt{5}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$a=\sqrt{5}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -6.

$$a=\frac{-2\sqrt{5}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$a=-\sqrt{5}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\sqrt{5}-3 a=-\sqrt{5}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+6a+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a^{2}+6a+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$a^{2}+6a=-4$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}+6a+3^{2}=-4+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$a^{2}+6a+9=-4+9$$

Lisää -4 lukuun 9.

$$a^{2}+6a+9=5$$

Jaa a^{2}+6a+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+3\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a+3\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$a+3=\sqrt{5} a+3=-\sqrt{5}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a=\sqrt{5}-3 a=-\sqrt{5}-3$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\sqrt{5}-3\approx -0,763932023$$

$$a=-\sqrt{5}-3\approx -5,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}+6a+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2}$$

Kerro -4 ja 4.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -16.

$$a=\frac{-6±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{5}.

$$a=\frac{2\sqrt{5}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$a=\sqrt{5}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -6.

$$a=\frac{-2\sqrt{5}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$a=-\sqrt{5}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\sqrt{5}-3 a=-\sqrt{5}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+6a+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a^{2}+6a+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$a^{2}+6a=-4$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}+6a+3^{2}=-4+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$a^{2}+6a+9=-4+9$$

Lisää -4 lukuun 9.

$$a^{2}+6a+9=5$$

Jaa a^{2}+6a+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+3\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a+3\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$a+3=\sqrt{5} a+3=-\sqrt{5}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a=\sqrt{5}-3 a=-\sqrt{5}-3$$