Ratkaise a^2+3a-60>0

$$a ^ { 2 } + 3 a - 60 > 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{249}-3}{2},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$a^{2}+3a-60=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 3 tilalle b ja muuttujan -60 tilalle c.

$$a=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\left(-60\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$a=\frac{-3±\sqrt{249}}{2}$$

Ratkaise yhtälö a=\frac{-3±\sqrt{249}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$a=\frac{\sqrt{249}-3}{2} a=\frac{-\sqrt{249}-3}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}\right)\left(a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} ja a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} ja a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} ovat molemmat negatiivisia.

$$a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}<0 a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}.

$$a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} ja a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} ovat molemmat positiivisia.

$$a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}>0 a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}.

$$a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\text{; }a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}$$