Ratkaise I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

Laske

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Kerro -24 ja \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

Etsi kohteen 143 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}t=at avulla.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

Sievennä.

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$