Ratkaise 98x^2+40x-30=0

$$98 x ^ { 2 } + 40 x - 30 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{835}-10}{49}\approx 0,385640134$$

$$x=\frac{-\sqrt{835}-10}{49}\approx -0,793803399$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$98x^{2}+40x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 98, b luvulla 40 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 98\left(-30\right)}}{2\times 98}$$

Korota 40 neliöön.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 98\left(-30\right)}}{2\times 98}$$

Kerro -4 ja 98.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-392\left(-30\right)}}{2\times 98}$$

Kerro -392 ja -30.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+11760}}{2\times 98}$$

Lisää 1600 lukuun 11760.

$$x=\frac{-40±\sqrt{13360}}{2\times 98}$$

Ota luvun 13360 neliöjuuri.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{835}}{2\times 98}$$

Kerro 2 ja 98.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{835}}{196}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±4\sqrt{835}}{196}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -40 lukuun 4\sqrt{835}.

$$x=\frac{4\sqrt{835}-40}{196}$$

Jaa -40+4\sqrt{835} luvulla 196.

$$x=\frac{\sqrt{835}-10}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±4\sqrt{835}}{196}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{835} luvusta -40.

$$x=\frac{-4\sqrt{835}-40}{196}$$

Jaa -40-4\sqrt{835} luvulla 196.

$$x=\frac{-\sqrt{835}-10}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{835}-10}{49} x=\frac{-\sqrt{835}-10}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$98x^{2}+40x-30=0$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$98x^{2}+40x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Kun luku -30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$98x^{2}+40x=-\left(-30\right)$$

Vähennä -30 luvusta 0.

$$98x^{2}+40x=30$$

Jaa molemmat puolet luvulla 98.

$$\frac{98x^{2}+40x}{98}=\frac{30}{98}$$

Jakaminen luvulla 98 kumoaa kertomisen luvulla 98.

$$x^{2}+\frac{40}{98}x=\frac{30}{98}$$

Supista murtoluku \frac{40}{98} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{20}{49}x=\frac{30}{98}$$

Supista murtoluku \frac{30}{98} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{20}{49}x=\frac{15}{49}$$

Jaa \frac{20}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{10}{49}. Lisää sitten \frac{10}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{20}{49}x+\left(\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Korota \frac{10}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{100}{2401}$$

Lisää \frac{15}{49} lukuun \frac{100}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=\frac{835}{2401}$$

Jaa x^{2}+\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{835}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{835}{2401}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{835}}{49} x+\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{835}}{49}$$

Vähennä \frac{10}{49} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{835}-10}{49} x=\frac{-\sqrt{835}-10}{49}$$