Ratkaise 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä y^{2} molemmilta puolilta.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Selvitä 8y^{2} yhdistämällä 9y^{2} ja -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2y^{2}+ay+by+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-2 b=-1$$

Kirjoita \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right) uudelleen muodossa 2y^{2}-3y+1.

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Jaa 2y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Jaa yleinen termi y-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista y-1=0 ja 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä y^{2} molemmilta puolilta.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Selvitä 8y^{2} yhdistämällä 9y^{2} ja -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -12 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Korota -12 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Lisää 144 lukuun -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{12±4}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Jaa 16 luvulla 16.

$$y=1$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{12±4}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Supista murtoluku \frac{8}{16} luvulla 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä y^{2} molemmilta puolilta.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Selvitä 8y^{2} yhdistämällä 9y^{2} ja -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{8} luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Jaa y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$