Ratkaise 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -12 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Korota -12 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Lisää 144 lukuun -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ota luvun 72 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Jaa 12+6\sqrt{2} luvulla 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{2} luvusta 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Jaa 12-6\sqrt{2} luvulla 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{9} luvulla 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Lisää -\frac{2}{9} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Jaa y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$