Ratkaise 9y^2+12y+4=0

$$9 y ^ { 2 } + 12 y + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9y^{2}+ay+by+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=12 ab=9\times 4=36$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 12.

$$a=6 b=6$$

Kirjoita \left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right) uudelleen muodossa 9y^{2}+12y+4.

$$\left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right)$$

Jaa 3y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3y\left(3y+2\right)+2\left(3y+2\right)$$

Jaa yleinen termi 3y+2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3y+2\right)\left(3y+2\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(3y+2\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön 3y+2=0.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9y^{2}+12y+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 12 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Korota 12 neliöön.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 4.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Lisää 144 lukuun -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$y=-\frac{12}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$y=-\frac{12}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{18} luvulla 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}+12y+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9y^{2}+12y+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9y^{2}+12y=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9y^{2}+12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$y^{2}+\frac{12}{9}y=-\frac{4}{9}$$

Supista murtoluku \frac{12}{9} luvulla 3.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Lisää -\frac{4}{9} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Jaa y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$y+\frac{2}{3}=0 y+\frac{2}{3}=0$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$y=-\frac{2}{3}$$