Ratkaise 9x^3-5x^2+5x+4=0

$$9 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } + 5 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

$$x=-\frac{4}{9}\approx -0,444444444$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 4 ja q jakaa alku kertoimen 9. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{9},±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{9},±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-\frac{4}{9}$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 9x^{3}-5x^{2}+5x+4 luvulla 9\left(x+\frac{4}{9}\right)=9x+4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-x+1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x^{2}-x+1=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=-\frac{4}{9} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{4}{9}\approx -0,444444444$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 4 ja q jakaa alku kertoimen 9. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{9},±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{9},±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-\frac{4}{9}$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 9x^{3}-5x^{2}+5x+4 luvulla 9\left(x+\frac{4}{9}\right)=9x+4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-x+1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$x\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=-\frac{4}{9}$$