Ratkaise 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0,743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0,298935084$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -4 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Lisää 16 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Ota luvun 88 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Jaa 4+2\sqrt{22} luvulla 18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{22} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Jaa 4-2\sqrt{22} luvulla 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Jaa -\frac{4}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{9}. Lisää sitten -\frac{2}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Lisää \frac{2}{9} lukuun \frac{4}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Lisää \frac{2}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$