Ratkaise 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 65 molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx-65. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -24.

$$a=-39 b=15$$

Kirjoita \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right) uudelleen muodossa 9x^{2}-24x-65.

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-13 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-13=0 ja 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}-24x=65$$

Vähennä 65 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Kun luku 65 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -24 ja c luvulla -65 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Lisää 576 lukuun 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Ota luvun 2916 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±54}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Supista murtoluku \frac{78}{18} luvulla 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±54}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 54 luvusta 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{18} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-24}{9} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Jaa -\frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{3}. Lisää sitten -\frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Lisää \frac{65}{9} lukuun \frac{16}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Lisää \frac{4}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$