Ratkaise 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2,247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0,692084062$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -14 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Lisää 196 lukuun 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Ota luvun 700 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Jaa 14+10\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{7} luvusta 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Jaa 14-10\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Lisää 14 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Kun luku -14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Vähennä -14 luvusta 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Jaa -\frac{14}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{9}. Lisää sitten -\frac{7}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Lisää \frac{14}{9} lukuun \frac{49}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Jaa x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Lisää \frac{7}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$