Ratkaise 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+9x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 9 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Lisää 81 lukuun 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Ota luvun 117 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Jaa -9+3\sqrt{13} luvulla 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{13} luvusta -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Jaa -9-3\sqrt{13} luvulla 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Jaa 9 luvulla 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{1}{9} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$