Ratkaise 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 6 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Lisää 36 lukuun -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Ota luvun -288 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Jaa -6+12i\sqrt{2} luvulla 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12i\sqrt{2} luvusta -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Jaa -6-12i\sqrt{2} luvulla 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Supista murtoluku \frac{6}{9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Jaa -9 luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$