Ratkaise 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0,166666667+0,986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,986013297i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 3 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

Lisää 9 lukuun -324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

Ota luvun -315 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

Jaa -3+3i\sqrt{35} luvulla 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{35} luvusta -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

Jaa -3-3i\sqrt{35} luvulla 18.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+3x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Supista murtoluku \frac{3}{9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Jaa -9 luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

Jaa \frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{6}. Lisää sitten \frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$