Ratkaise 9t^2-6t-1=0

$$9 t ^ { 2 } - 6 t - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{\sqrt{2}+1}{3}\approx 0,804737854$$

$$t=\frac{1-\sqrt{2}}{3}\approx -0,138071187$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9t^{2}-6t-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -6 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Korota -6 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -1.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+36}}{2\times 9}$$

Lisää 36 lukuun 36.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ota luvun 72 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$t=\frac{6±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$t=\frac{6±6\sqrt{2}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{6±6\sqrt{2}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 6\sqrt{2}.

$$t=\frac{6\sqrt{2}+6}{18}$$

Jaa 6+6\sqrt{2} luvulla 18.

$$t=\frac{\sqrt{2}+1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{6±6\sqrt{2}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{2} luvusta 6.

$$t=\frac{6-6\sqrt{2}}{18}$$

Jaa 6-6\sqrt{2} luvulla 18.

$$t=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{2}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}-6t-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9t^{2}-6t-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9t^{2}-6t=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$9t^{2}-6t=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9t^{2}-6t}{9}=\frac{1}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{6}{9}\right)t=\frac{1}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{9} luvulla 3.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t=\frac{1}{9}$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{1+1}{9}$$

Lisää \frac{1}{9} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$$

Jaa t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} t-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{2}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$