Ratkaise 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3n^{2} molemmilta puolilta.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Selvitä 6n^{2} yhdistämällä 9n^{2} ja -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6n^{2}+an+bn+20. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -23.

$$a=-15 b=-8$$

Kirjoita \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) uudelleen muodossa 6n^{2}-23n+20.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Ota 3n tekijäksi ensimmäisessä ja -4 toisessa ryhmässä.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2n-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2n-5=0 ja 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3n^{2} molemmilta puolilta.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Selvitä 6n^{2} yhdistämällä 9n^{2} ja -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -23 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Korota -23 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Lisää 529 lukuun -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Luvun -23 vastaluku on 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{23±7}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 23 lukuun 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Supista murtoluku \frac{30}{12} luvulla 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{23±7}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Supista murtoluku \frac{16}{12} luvulla 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3n^{2} molemmilta puolilta.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Selvitä 6n^{2} yhdistämällä 9n^{2} ja -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Vähennä 20 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{6} luvulla 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Jaa -\frac{23}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{12}. Lisää sitten -\frac{23}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Lisää -\frac{10}{3} lukuun \frac{529}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Jaa n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Lisää \frac{23}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$