Ratkaise 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -10 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Korota -10 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Lisää 100 lukuun -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Ota luvun -44 neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Jaa 10+2i\sqrt{11} luvulla 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{11} luvusta 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Jaa 10-2i\sqrt{11} luvulla 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Jaa -\frac{10}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{9}. Lisää sitten -\frac{5}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Lisää -\frac{4}{9} lukuun \frac{25}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Jaa a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Lisää \frac{5}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$