Ratkaise 9(x-2)^2-121=0

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 121 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \approx 5,666666667$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Laske lukujen 9 ja x^{2}-4x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Vähennä 121 luvusta 36 saadaksesi tuloksen -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx-85. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-36 ab=9\left(-85\right)=-765$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -765.

$$1,-765 3,-255 5,-153 9,-85 15,-51 17,-45$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-765=-764 3-255=-252 5-153=-148 9-85=-76 15-51=-36 17-45=-28$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -36.

$$a=-51 b=15$$

Kirjoita \left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right) uudelleen muodossa 9x^{2}-36x-85.

$$\left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(3x-17\right)+5\left(3x-17\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-17 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-17\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-17=0 ja 3x+5=0.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Laske lukujen 9 ja x^{2}-4x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Vähennä 121 luvusta 36 saadaksesi tuloksen -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -36 ja c luvulla -85 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Korota -36 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-36\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -85.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296+3060}}{2\times 9}$$

Lisää 1296 lukuun 3060.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{4356}}{2\times 9}$$

Ota luvun 4356 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±66}{2\times 9}$$

Luvun -36 vastaluku on 36.

$$x=\frac{36±66}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{36±66}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{36±66}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 36 lukuun 66.

$$x=\frac{102}{18}$$

Supista murtoluku \frac{102}{18} luvulla 6.

$$x=\frac{17}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{36±66}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 66 luvusta 36.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{18} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Laske lukujen 9 ja x^{2}-4x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Vähennä 121 luvusta 36 saadaksesi tuloksen -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Lisää 85 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$9x^{2}-36x=85$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-36x}{9}=\frac{85}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{36}{9}\right)x=\frac{85}{9}$$

Jaa -36 luvulla 9.

$$x^{2}-4x=\frac{85}{9}$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{85}{9}+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=\frac{85}{9}+4$$

Lisää \frac{85}{9} lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{121}{9}$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Sievennä.

$$x-2=\frac{11}{3} x-2=-\frac{11}{3}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$