Ratkaise 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx+25. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -30.

$$a=-15 b=-15$$

Kirjoita \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right) uudelleen muodossa 9x^{2}-30x+25.

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -5.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -30 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Korota -30 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Lisää 900 lukuun -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Supista murtoluku \frac{30}{18} luvulla 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{9} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Jaa -\frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{3}. Lisää sitten -\frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Lisää -\frac{25}{9} lukuun \frac{25}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Lisää \frac{5}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=\frac{5}{3}$$