Ratkaise 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx-8. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 14.

$$a=-4 b=18$$

Kirjoita \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right) uudelleen muodossa 9x^{2}+14x-8.

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 9x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 9x-4=0 ja x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 14 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Korota 14 neliöön.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Lisää 196 lukuun 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Ota luvun 484 neliöjuuri.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±22}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -14 lukuun 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

Supista murtoluku \frac{8}{18} luvulla 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±22}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 22 luvusta -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Jaa -36 luvulla 18.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Jaa \frac{14}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{9}. Lisää sitten \frac{7}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Lisää \frac{8}{9} lukuun \frac{49}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Jaa x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Vähennä \frac{7}{9} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$