Ratkaise 9:6x^2-x=15

$$9 : 6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{91} + 1}{3} \approx 3,513130671$$

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}\approx -2,846464005$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=15-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{3}{2}, b luvulla -1 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{2}\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-6\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro -6 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+90}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Lisää 1 lukuun 90.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{91} luvusta 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{3}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{3}{2}x^{2}-x}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{3}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{3}{2} kertomalla -1 luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Jaa 15 luvulla \frac{3}{2} kertomalla 15 luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=10$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=10+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=10+\frac{1}{9}$$

Lisää 10 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{91}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{91}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{91}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{91}}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$