Ratkaise 8x-x(x+3)=2

$$8x-x(x+3)=2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 5}{2} \approx 4,561552813$$

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx 0,438447187$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-\left(x^{2}+3x\right)=2$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+3x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$8x-x^{2}-3x=2$$

Selvitä 5x yhdistämällä 8x ja -3x.

$$5x-x^{2}=2$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$5x-x^{2}-2=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+5x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 5 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 25 lukuun -8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{-2}$$

Jaa -5+\sqrt{17} luvulla -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-5}{-2}$$

Jaa -5-\sqrt{17} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{17}+5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2} x=\frac{\sqrt{17}+5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-\left(x^{2}+3x\right)=2$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+3x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$8x-x^{2}-3x=2$$

Selvitä 5x yhdistämällä 8x ja -3x.

$$5x-x^{2}=2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Jaa 5 luvulla -1.

$$x^{2}-5x=\frac{2}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}-5x=-2$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-2+\frac{25}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{17}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{17}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$$