Ratkaise 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0,033707865+0,669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0,033707865-0,669553569i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 89, b luvulla -6 ja c luvulla 40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Kerro -4 ja 89.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

Kerro -356 ja 40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

Lisää 36 lukuun -14240.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

Ota luvun -14204 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Kerro 2 ja 89.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2i\sqrt{3551}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

Jaa 6+2i\sqrt{3551} luvulla 178.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3551} luvusta 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

Jaa 6-2i\sqrt{3551} luvulla 178.

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Vähennä 40 yhtälön molemmilta puolilta.

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

Kun luku 40 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$89x^{2}-6x=-40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 89.

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

Jakaminen luvulla 89 kumoaa kertomisen luvulla 89.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

Jaa -\frac{6}{89} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{89}. Lisää sitten -\frac{3}{89}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{89} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

Lisää -\frac{40}{89} lukuun \frac{9}{7921} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

Jaa x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

Lisää \frac{3}{89} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$