Ratkaise 88x^2-16x=-36

$$88 { x }^{ 2 } -16x=-36$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}\approx 0,090909091+0,633108558i$$

$$x=-\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}\approx 0,090909091-0,633108558i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$88x^{2}-16x=-36$$

Lisää 36 yhtälön kummallekin puolelle.

$$88x^{2}-16x-\left(-36\right)=-36-\left(-36\right)$$

Kun luku -36 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$88x^{2}-16x-\left(-36\right)=0$$

Vähennä -36 luvusta 0.

$$88x^{2}-16x+36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 88, b luvulla -16 ja c luvulla 36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 88\times 36}}{2\times 88}$$

Korota -16 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 88\times 36}}{2\times 88}$$

Kerro -4 ja 88.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-352\times 36}}{2\times 88}$$

Kerro -352 ja 36.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12672}}{2\times 88}$$

Lisää 256 lukuun -12672.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-12416}}{2\times 88}$$

Ota luvun -12416 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8\sqrt{194}i}{2\times 88}$$

Luvun -16 vastaluku on 16.

$$x=\frac{16±8\sqrt{194}i}{2\times 88}$$

Kerro 2 ja 88.

$$x=\frac{16±8\sqrt{194}i}{176}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{16±8\sqrt{194}i}{176}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 16 lukuun 8i\sqrt{194}.

$$x=\frac{16+8\sqrt{194}i}{176}$$

Jaa 16+8i\sqrt{194} luvulla 176.

$$x=\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{16±8\sqrt{194}i}{176}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{194} luvusta 16.

$$x=\frac{-8\sqrt{194}i+16}{176}$$

Jaa 16-8i\sqrt{194} luvulla 176.

$$x=-\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$88x^{2}-16x=-36$$

Jaa molemmat puolet luvulla 88.

$$\frac{88x^{2}-16x}{88}=-\frac{36}{88}$$

Jakaminen luvulla 88 kumoaa kertomisen luvulla 88.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{88}\right)x=-\frac{36}{88}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{88} luvulla 8.

$$x^{2}-\frac{2}{11}x=-\frac{36}{88}$$

Supista murtoluku \frac{-36}{88} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{2}{11}x=-\frac{9}{22}$$

Jaa -\frac{2}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{11}. Lisää sitten -\frac{1}{11}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{11}x+\left(-\frac{1}{11}\right)^{2}=-\frac{9}{22}+\left(-\frac{1}{11}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{11} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=-\frac{9}{22}+\frac{1}{121}$$

Lisää -\frac{9}{22} lukuun \frac{1}{121} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=-\frac{97}{242}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{11}x+\frac{1}{121} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{11}\right)^{2}=-\frac{97}{242}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{97}{242}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{194}i}{22} x-\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{194}i}{22}$$

Lisää \frac{1}{11} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{194}i}{22}+\frac{1}{11}$$