Ratkaise 86t^2-76t+17=0

$$86 t ^ { 2 } - 76 t + 17 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}\approx 0,441860465+0,049333031i$$

$$t=-\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}\approx 0,441860465-0,049333031i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$86t^{2}-76t+17=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 86, b luvulla -76 ja c luvulla 17 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 86\times 17}}{2\times 86}$$

Korota -76 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 86\times 17}}{2\times 86}$$

Kerro -4 ja 86.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-344\times 17}}{2\times 86}$$

Kerro -344 ja 17.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-5848}}{2\times 86}$$

Lisää 5776 lukuun -5848.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{-72}}{2\times 86}$$

Ota luvun -72 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-76\right)±6\sqrt{2}i}{2\times 86}$$

Luvun -76 vastaluku on 76.

$$t=\frac{76±6\sqrt{2}i}{2\times 86}$$

Kerro 2 ja 86.

$$t=\frac{76±6\sqrt{2}i}{172}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{76±6\sqrt{2}i}{172}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 76 lukuun 6i\sqrt{2}.

$$t=\frac{76+6\sqrt{2}i}{172}$$

Jaa 76+6i\sqrt{2} luvulla 172.

$$t=\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{76±6\sqrt{2}i}{172}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i\sqrt{2} luvusta 76.

$$t=\frac{-6\sqrt{2}i+76}{172}$$

Jaa 76-6i\sqrt{2} luvulla 172.

$$t=-\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43} t=-\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$86t^{2}-76t+17=0$$

Vähennä 17 yhtälön molemmilta puolilta.

$$86t^{2}-76t+17-17=-17$$

Kun luku 17 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$86t^{2}-76t=-17$$

Jaa molemmat puolet luvulla 86.

$$\frac{86t^{2}-76t}{86}=-\frac{17}{86}$$

Jakaminen luvulla 86 kumoaa kertomisen luvulla 86.

$$t^{2}+\left(-\frac{76}{86}\right)t=-\frac{17}{86}$$

Supista murtoluku \frac{-76}{86} luvulla 2.

$$t^{2}-\frac{38}{43}t=-\frac{17}{86}$$

Jaa -\frac{38}{43} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{43}. Lisää sitten -\frac{19}{43}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{38}{43}t+\left(-\frac{19}{43}\right)^{2}=-\frac{17}{86}+\left(-\frac{19}{43}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{43} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{38}{43}t+\frac{361}{1849}=-\frac{17}{86}+\frac{361}{1849}$$

Lisää -\frac{17}{86} lukuun \frac{361}{1849} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{38}{43}t+\frac{361}{1849}=-\frac{9}{3698}$$

Jaa t^{2}-\frac{38}{43}t+\frac{361}{1849} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{19}{43}\right)^{2}=-\frac{9}{3698}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{19}{43}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{3698}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{19}{43}=\frac{3\sqrt{2}i}{86} t-\frac{19}{43}=-\frac{3\sqrt{2}i}{86}$$

Lisää \frac{19}{43} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43} t=-\frac{3\sqrt{2}i}{86}+\frac{19}{43}$$