Ratkaise 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 84, b luvulla 4\sqrt{3} ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Korota 4\sqrt{3} neliöön.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Kerro -4 ja 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Kerro -336 ja 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Lisää 48 lukuun -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Ota luvun -960 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Kerro 2 ja 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4\sqrt{3} lukuun 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Jaa -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} luvulla 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{15} luvusta -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Jaa -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} luvulla 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Jakaminen luvulla 84 kumoaa kertomisen luvulla 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Jaa 4\sqrt{3} luvulla 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Supista murtoluku \frac{-3}{84} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Jaa \frac{\sqrt{3}}{21} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{\sqrt{3}}{42}. Lisää sitten \frac{\sqrt{3}}{42}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Korota \frac{\sqrt{3}}{42} neliöön.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Lisää -\frac{1}{28} lukuun \frac{1}{588} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Jaa x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Vähennä \frac{\sqrt{3}}{42} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$