Ratkaise 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Jaa tekijöihin

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 81x^{2}+ax+bx+100. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 180.

$$a=90 b=90$$

Kirjoita \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right) uudelleen muodossa 81x^{2}+180x+100.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Ota 9x tekijäksi ensimmäisessä ja 10 toisessa ryhmässä.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 9x+10 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Binomin neliön käyttämisen vaiheet

Tämä trinomi on trinomineliömuodossa ja mahdollisesti kerrottuna yhteisellä tekijällä. Trinomineliöt voidaan jakaa tekijöihin etsimällä ensimmäisen ja viimeisen termin neliöjuuri.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Etsi kertoimien suurimmat yhteiset tekijät.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Laske ensimmäisen termin, 81x^{2}, neliöjuuri.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Laske viimeisen termin, 100, neliöjuuri.

$$\sqrt{100}=10$$

Trinomineliö on sen binomin, joka on ensimmäisen ja viimeisen termin neliöjuurien summa tai erotus, neliö, ja sen etumerkki määräytyy trinomineliön keskimmäisen termin mukaan.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Korota 180 neliöön.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kerro -4 ja 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Kerro -324 ja 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Lisää 32400 lukuun -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Kerro 2 ja 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{10}{9} kohteella x_{1} ja -\frac{10}{9} kohteella x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Lisää \frac{10}{9} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Lisää \frac{10}{9} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Kerro \frac{9x+10}{9} ja \frac{9x+10}{9} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Kerro 9 ja 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Supista lausekkeiden 81 ja 81 suurin yhteinen tekijä 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Laske

$$\left(9x+10\right)^{2}$$