Ratkaise 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Jaa tekijöihin

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 81x^{2}+ax+bx+25. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 90.

$$a=45 b=45$$

Kirjoita \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) uudelleen muodossa 81x^{2}+90x+25.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Ota 9x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 9x+5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Binomin neliön käyttämisen vaiheet

Tämä trinomi on trinomineliömuodossa ja mahdollisesti kerrottuna yhteisellä tekijällä. Trinomineliöt voidaan jakaa tekijöihin etsimällä ensimmäisen ja viimeisen termin neliöjuuri.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Etsi kertoimien suurimmat yhteiset tekijät.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Laske ensimmäisen termin, 81x^{2}, neliöjuuri.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Laske viimeisen termin, 25, neliöjuuri.

$$\sqrt{25}=5$$

Trinomineliö on sen binomin, joka on ensimmäisen ja viimeisen termin neliöjuurien summa tai erotus, neliö, ja sen etumerkki määräytyy trinomineliön keskimmäisen termin mukaan.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Korota 90 neliöön.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Kerro -4 ja 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Kerro -324 ja 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Lisää 8100 lukuun -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Kerro 2 ja 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{5}{9} kohteella x_{1} ja -\frac{5}{9} kohteella x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Lisää \frac{5}{9} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Lisää \frac{5}{9} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Kerro \frac{9x+5}{9} ja \frac{9x+5}{9} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Kerro 9 ja 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Supista lausekkeiden 81 ja 81 suurin yhteinen tekijä 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Laske

$$\left(9x+5\right)^{2}$$