Ratkaise 80=6r+r^2

$$80 = 6 r + r ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan r suhteen (complex solution)

$$r=\sqrt{89}-3\approx 6,433981132$$

$$r=-\left(\sqrt{89}+3\right)\approx -12,433981132$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6r+r^{2}=80$$

Vähennä 80 molemmilta puolilta.

$$6r+r^{2}-80=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$r^{2}+6r-80=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla -80 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-80\right)}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-80\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -80.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36+320}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 320.

$$r=\frac{-6±\sqrt{356}}{2}$$

Ota luvun 356 neliöjuuri.

$$r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{89}.

$$r=\frac{2\sqrt{89}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{89} luvulla 2.

$$r=\sqrt{89}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{89} luvusta -6.

$$r=\frac{-2\sqrt{89}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{89} luvulla 2.

$$r=-\sqrt{89}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6r+r^{2}=80$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+6r=80$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}+6r+3^{2}=80+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$r^{2}+6r+9=80+9$$

Lisää 80 lukuun 9.

$$r^{2}+6r+9=89$$

Jaa r^{2}+6r+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+3\right)^{2}=89$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r+3\right)^{2}}=\sqrt{89}$$

Sievennä.

$$r+3=\sqrt{89} r+3=-\sqrt{89}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=\sqrt{89}-3\approx 6,433981132$$

$$r=-\sqrt{89}-3\approx -12,433981132$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6r+r^{2}=80$$

Vähennä 80 molemmilta puolilta.

$$6r+r^{2}-80=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$r^{2}+6r-80=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla -80 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-80\right)}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-80\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -80.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36+320}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 320.

$$r=\frac{-6±\sqrt{356}}{2}$$

Ota luvun 356 neliöjuuri.

$$r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{89}.

$$r=\frac{2\sqrt{89}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{89} luvulla 2.

$$r=\sqrt{89}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{89} luvusta -6.

$$r=\frac{-2\sqrt{89}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{89} luvulla 2.

$$r=-\sqrt{89}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6r+r^{2}=80$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+6r=80$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}+6r+3^{2}=80+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$r^{2}+6r+9=80+9$$

Lisää 80 lukuun 9.

$$r^{2}+6r+9=89$$

Jaa r^{2}+6r+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+3\right)^{2}=89$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r+3\right)^{2}}=\sqrt{89}$$

Sievennä.

$$r+3=\sqrt{89} r+3=-\sqrt{89}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$