Ratkaise 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0,75-1,299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0,75+1,299038106i$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -27 ja q jakaa johtavan kertoimen 8. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$y=\frac{3}{2}$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla y-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa 8y^{3}-27 luvulla 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3, jolloin ratkaisuksi tulee 4y^{2}+6y+9. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan 6 tilalle b ja muuttujan 9 tilalle c.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Ratkaise yhtälö 4y^{2}+6y+9=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -27 ja q jakaa johtavan kertoimen 8. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$y=\frac{3}{2}$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla y-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa 8y^{3}-27 luvulla 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3, jolloin ratkaisuksi tulee 4y^{2}+6y+9. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan 6 tilalle b ja muuttujan 9 tilalle c.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$y\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$y=\frac{3}{2}$$