Ratkaise 8x-x^2=14

$$8 x - x ^ { 2 } = 14$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}+4\approx 5,414213562$$

$$x=4-\sqrt{2}\approx 2,585786438$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+8x=14$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+8x-14=14-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+8x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 8 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -14.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-56}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 64 lukuun -56.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Jaa 2\sqrt{2}-8 luvulla -2.

$$x=4-\sqrt{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Jaa -8-2\sqrt{2} luvulla -2.

$$x=\sqrt{2}+4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=\frac{14}{-1}$$

Jaa 8 luvulla -1.

$$x^{2}-8x=\frac{14}{-1}$$

Jaa 14 luvulla -1.

$$x^{2}-8x=-14$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-14+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-14+16$$

Lisää -14 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=2$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x-4=\sqrt{2} x-4=-\sqrt{2}$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{2}+4 x=4-\sqrt{2}$$