Ratkaise 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -8 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Lisää 64 lukuun 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Ota luvun 96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Jaa 8+4\sqrt{6} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{6} luvusta 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Jaa 8-4\sqrt{6} luvulla 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Jaa -8 luvulla 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{1}{8} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$