Ratkaise 8x^2-6x-9

$$8 x ^ { 2 } - 6 x - 9$$

Jaa tekijöihin

$$\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 8x^{2}+ax+bx-9. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-6 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -6.

$$a=-12 b=6$$

Kirjoita \left(8x^{2}-12x\right)+\left(6x-9\right) uudelleen muodossa 8x^{2}-6x-9.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(6x-9\right)$$

Ota 4x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$4x\left(2x-3\right)+3\left(2x-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$8x^{2}-6x-9=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+288}}{2\times 8}$$

Lisää 36 lukuun 288.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ota luvun 324 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±18}{2\times 8}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±18}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{6±18}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±18}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 18.

$$x=\frac{24}{16}$$

Supista murtoluku \frac{24}{16} luvulla 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±18}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 18 luvusta 6.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{16} luvulla 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{3}{2} kohteella x_{1} ja -\frac{3}{4} kohteella x_{2}.

$$8x^{2}-6x-9=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$8x^{2}-6x-9=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Vähennä \frac{3}{2} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-6x-9=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-6x-9=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Kerro \frac{2x-3}{2} ja \frac{4x+3}{4} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-6x-9=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$8x^{2}-6x-9=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Supista lausekkeiden 8 ja 8 suurin yhteinen tekijä 8.

$$8x^{2}-6x-9=\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Laske

$$\left(2x-3\right)\left(4x+3\right)$$