Ratkaise 8x^2-24x+14=0

$$8 x ^ { 2 } - 24 x + 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{2} + 3}{2} \approx 2,207106781$$

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}\approx 0,792893219$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-24x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -24 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\times 14}}{2\times 8}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\times 14}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\times 14}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja 14.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-448}}{2\times 8}$$

Lisää 576 lukuun -448.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{128}}{2\times 8}$$

Ota luvun 128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{2}}{2\times 8}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{2}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 8\sqrt{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{2}+24}{16}$$

Jaa 24+8\sqrt{2} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{2} luvusta 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{2}}{16}$$

Jaa 24-8\sqrt{2} luvulla 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x+14=0$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x^{2}-24x+14-14=-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}-24x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=-\frac{14}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=-\frac{14}{8}$$

Jaa -24 luvulla 8.

$$x^{2}-3x=-\frac{14}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{8} luvulla 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{7}{4}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-7+9}{4}$$

Lisää -\frac{7}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$