Ratkaise 8x^2+x-3=0

$$8 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}\approx 0,553053613$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}\approx -0,678053613$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 1 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+96}}{2\times 8}$$

Lisää 1 lukuun 96.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{97} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$8x^{2}+x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{3}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{3}{8}$$

Jaa \frac{1}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{16}. Lisää sitten \frac{1}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{3}{8}+\frac{1}{256}$$

Lisää \frac{3}{8} lukuun \frac{1}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{97}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

Vähennä \frac{1}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$