Ratkaise 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0,8125+0,768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0,8125-0,768012858i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 13 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja 10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

Lisää 169 lukuun -320.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

Ota luvun -151 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun i\sqrt{151}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{151} luvusta -13.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}+13x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{8} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

Jaa \frac{13}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{13}{16}. Lisää sitten \frac{13}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{13}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

Lisää -\frac{5}{4} lukuun \frac{169}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

Vähennä \frac{13}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$