Ratkaise 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 8x^{2}+ax+bx-7. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 10.

$$a=-4 b=14$$

Kirjoita \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) uudelleen muodossa 8x^{2}+10x-7.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Ota 4x tekijäksi ensimmäisessä ja 7 toisessa ryhmässä.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-1=0 ja 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 10 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Lisää 100 lukuun 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ota luvun 324 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±18}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Supista murtoluku \frac{8}{16} luvulla 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±18}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 18 luvusta -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-28}{16} luvulla 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Supista murtoluku \frac{10}{8} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Jaa \frac{5}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{8}. Lisää sitten \frac{5}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Lisää \frac{7}{8} lukuun \frac{25}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Vähennä \frac{5}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$