Ratkaise 8n^2-4(1-2n)(2+8n)=0

$$8 n ^ { 2 } - 4 ( 1 - 2 n ) ( 2 + 8 n ) = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}\approx 0,462475296$$

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}\approx -0,240253073$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro -1 ja 4, niin saadaan -4.

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Laske lukujen -4 ja 1-2n tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Laske lukujen -4+8n ja 2+8n tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

Selvitä 72n^{2} yhdistämällä 8n^{2} ja 64n^{2}.

$$72n^{2}-8-16n=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$72n^{2}-16n-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 72, b luvulla -16 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Korota -16 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Kerro -4 ja 72.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-288\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Kerro -288 ja -8.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+2304}}{2\times 72}$$

Lisää 256 lukuun 2304.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{2560}}{2\times 72}$$

Ota luvun 2560 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

Luvun -16 vastaluku on 16.

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

Kerro 2 ja 72.

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 16 lukuun 16\sqrt{10}.

$$n=\frac{16\sqrt{10}+16}{144}$$

Jaa 16+16\sqrt{10} luvulla 144.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16\sqrt{10} luvusta 16.

$$n=\frac{16-16\sqrt{10}}{144}$$

Jaa 16-16\sqrt{10} luvulla 144.

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro -1 ja 4, niin saadaan -4.

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Laske lukujen -4 ja 1-2n tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Laske lukujen -4+8n ja 2+8n tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

Selvitä 72n^{2} yhdistämällä 8n^{2} ja 64n^{2}.

$$72n^{2}-8-16n=0$$

Lisää 8 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$72n^{2}-16n=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 72.

$$\frac{72n^{2}-16n}{72}=\frac{8}{72}$$

Jakaminen luvulla 72 kumoaa kertomisen luvulla 72.

$$n^{2}+\left(-\frac{16}{72}\right)n=\frac{8}{72}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{72} luvulla 8.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{8}{72}$$

Supista murtoluku \frac{8}{72} luvulla 8.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{1}{9}$$

Jaa -\frac{2}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{9}. Lisää sitten -\frac{1}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

Lisää \frac{1}{9} lukuun \frac{1}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$$

Jaa n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{10}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{81}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{1}{9}=\frac{\sqrt{10}}{9} n-\frac{1}{9}=-\frac{\sqrt{10}}{9}$$

Lisää \frac{1}{9} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$