Ratkaise 8n^2+7n-8=0

$$8 n ^ { 2 } + 7 n - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=\frac{\sqrt{305}-7}{16}\approx 0,654015575$$

$$n=\frac{-\sqrt{305}-7}{16}\approx -1,529015575$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8n^{2}+7n-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 7 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 8\left(-8\right)}}{2\times 8}$$

Korota 7 neliöön.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 8\left(-8\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-32\left(-8\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -8.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49+256}}{2\times 8}$$

Lisää 49 lukuun 256.

$$n=\frac{-7±\sqrt{305}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$n=\frac{-7±\sqrt{305}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-7±\sqrt{305}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{305}.

$$n=\frac{\sqrt{305}-7}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-7±\sqrt{305}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{305} luvusta -7.

$$n=\frac{-\sqrt{305}-7}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{305}-7}{16} n=\frac{-\sqrt{305}-7}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}+7n-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8n^{2}+7n-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8n^{2}+7n=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$8n^{2}+7n=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8n^{2}+7n}{8}=\frac{8}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$n^{2}+\frac{7}{8}n=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$n^{2}+\frac{7}{8}n=1$$

Jaa \frac{7}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{16}. Lisää sitten \frac{7}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+\frac{7}{8}n+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}=1+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+\frac{7}{8}n+\frac{49}{256}=1+\frac{49}{256}$$

Lisää 1 lukuun \frac{49}{256}.

$$n^{2}+\frac{7}{8}n+\frac{49}{256}=\frac{305}{256}$$

Jaa n^{2}+\frac{7}{8}n+\frac{49}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{7}{16}\right)^{2}=\frac{305}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{305}{256}}$$

Sievennä.

$$n+\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{305}}{16} n+\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{305}}{16}$$

Vähennä \frac{7}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=\frac{\sqrt{305}-7}{16} n=\frac{-\sqrt{305}-7}{16}$$