Ratkaise 8-26y+11y^2=0

$$8 - 26 y + 11 y ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=2$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0,363636364$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 11y^{2}+ay+by+8. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-26 ab=11\times 8=88$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 88.

$$-1,-88 -2,-44 -4,-22 -8,-11$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-88=-89 -2-44=-46 -4-22=-26 -8-11=-19$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -26.

$$a=-22 b=-4$$

Kirjoita \left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right) uudelleen muodossa 11y^{2}-26y+8.

$$\left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Jaa 11y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -4.

$$11y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Jaa yleinen termi y-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y-2\right)\left(11y-4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista y-2=0 ja 11y-4=0.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 11, b luvulla -26 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Korota -26 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Kerro -4 ja 11.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-44\times 8}}{2\times 11}$$

Kerro -44 ja 8.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-352}}{2\times 11}$$

Lisää 676 lukuun -352.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{324}}{2\times 11}$$

Ota luvun 324 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±18}{2\times 11}$$

Luvun -26 vastaluku on 26.

$$y=\frac{26±18}{2\times 11}$$

Kerro 2 ja 11.

$$y=\frac{26±18}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{26±18}{22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 26 lukuun 18.

$$y=\frac{44}{22}$$

Jaa 44 luvulla 22.

$$y=2$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{26±18}{22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 18 luvusta 26.

$$y=\frac{8}{22}$$

Supista murtoluku \frac{8}{22} luvulla 2.

$$y=\frac{4}{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$11y^{2}-26y+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$11y^{2}-26y=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$\frac{11y^{2}-26y}{11}=-\frac{8}{11}$$

Jakaminen luvulla 11 kumoaa kertomisen luvulla 11.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y=-\frac{8}{11}$$

Jaa -\frac{26}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{11}. Lisää sitten -\frac{13}{11}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}=-\frac{8}{11}+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{11} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=-\frac{8}{11}+\frac{169}{121}$$

Lisää -\frac{8}{11} lukuun \frac{169}{121} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=\frac{81}{121}$$

Jaa y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{81}{121}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{121}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{13}{11}=\frac{9}{11} y-\frac{13}{11}=-\frac{9}{11}$$

Lisää \frac{13}{11} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$