Ratkaise 8x^2-7x+2=0

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0,4375+0,242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0,4375-0,242061459i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -7 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

Lisää 49 lukuun -64.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

Ota luvun -15 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun i\sqrt{15}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{15} luvusta 7.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}-7x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{8} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{7}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{16}. Lisää sitten -\frac{7}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{49}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

Lisää \frac{7}{16} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$