Ratkaise 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3,791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,791287847$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -24 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

Lisää 576 lukuun 768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

Ota luvun 1344 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

Jaa 24+8\sqrt{21} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{21} luvusta 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

Jaa 24-8\sqrt{21} luvulla 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$8x^{2}-24x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

Jaa -24 luvulla 8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

Jaa 24 luvulla 8.

$$x^{2}-3x=3$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

Lisää 3 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$