Ratkaise 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Jaa tekijöihin

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 8x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -14.

$$a=-20 b=6$$

Kirjoita \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right) uudelleen muodossa 8x^{2}-14x-15.

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Lisää 196 lukuun 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ota luvun 676 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±26}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Supista murtoluku \frac{40}{16} luvulla 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±26}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 26 luvusta 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{16} luvulla 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{2} kohteella x_{1} ja -\frac{3}{4} kohteella x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Vähennä \frac{5}{2} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Kerro \frac{2x-5}{2} ja \frac{4x+3}{4} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Supista lausekkeiden 8 ja 8 suurin yhteinen tekijä 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Laske

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$