Ratkaise 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0,9+19,979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0,9-19,979739738i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä \frac{9}{2}x yhdistämällä 7x ja -\frac{5}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Vähennä 1000 molemmilta puolilta.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{5}{2}, b luvulla \frac{9}{2} ja c luvulla -1000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Korota \frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Kerro 10 ja -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Lisää \frac{81}{4} lukuun -10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Ota luvun -\frac{39919}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{9}{2} lukuun \frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

Jaa \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} luvulla -5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{39919}}{2} luvusta -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

Jaa \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} luvulla -5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä \frac{9}{2}x yhdistämällä 7x ja -\frac{5}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{5}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{5}{2} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{9}{2} luvulla -\frac{5}{2} kertomalla \frac{9}{2} luvun -\frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Jaa 1000 luvulla -\frac{5}{2} kertomalla 1000 luvun -\frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

Jaa -\frac{9}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{10}. Lisää sitten -\frac{9}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

Lisää -400 lukuun \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

Lisää \frac{9}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$