Ratkaise 7x+5/2x^2-5/2x=1000

$$7x+ \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{40081} - 9}{10} \approx 19,120239759$$

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}\approx -20,920239759$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä \frac{9}{2}x yhdistämällä 7x ja -\frac{5}{2}x.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Vähennä 1000 molemmilta puolilta.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{5}{2}, b luvulla \frac{9}{2} ja c luvulla -1000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Korota \frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\times \frac{5}{2}\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro -10 ja -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10000}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Lisää \frac{81}{4} lukuun 10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{40081}{4}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Ota luvun \frac{40081}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{9}{2} lukuun \frac{\sqrt{40081}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{2\times 5}$$

Jaa \frac{-9+\sqrt{40081}}{2} luvulla 5.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{40081}}{2} luvusta -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{2\times 5}$$

Jaa \frac{-9-\sqrt{40081}}{2} luvulla 5.

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10} x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä \frac{9}{2}x yhdistämällä 7x ja -\frac{5}{2}x.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{\frac{5}{2}}=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{5}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{9}{2} luvulla \frac{5}{2} kertomalla \frac{9}{2} luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Jaa 1000 luvulla \frac{5}{2} kertomalla 1000 luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x=400$$

Jaa \frac{9}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{10}. Lisää sitten \frac{9}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}=400+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=400+\frac{81}{100}$$

Lisää 400 lukuun \frac{81}{100}.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{40081}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{40081}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40081}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{40081}}{10} x+\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{40081}}{10}$$

Vähennä \frac{9}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10} x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$