Ratkaise 780x^2-28600x-38200=0

$$780 { x }^{ 2 } -28600x-38200=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}\approx 37,956928062$$

$$x=-\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}\approx -1,290261396$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$780x^{2}-28600x-38200=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 780, b luvulla -28600 ja c luvulla -38200 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±\sqrt{\left(-28600\right)^{2}-4\times 780\left(-38200\right)}}{2\times 780}$$

Korota -28600 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±\sqrt{817960000-4\times 780\left(-38200\right)}}{2\times 780}$$

Kerro -4 ja 780.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±\sqrt{817960000-3120\left(-38200\right)}}{2\times 780}$$

Kerro -3120 ja -38200.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±\sqrt{817960000+119184000}}{2\times 780}$$

Lisää 817960000 lukuun 119184000.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±\sqrt{937144000}}{2\times 780}$$

Ota luvun 937144000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-28600\right)±40\sqrt{585715}}{2\times 780}$$

Luvun -28600 vastaluku on 28600.

$$x=\frac{28600±40\sqrt{585715}}{2\times 780}$$

Kerro 2 ja 780.

$$x=\frac{28600±40\sqrt{585715}}{1560}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28600±40\sqrt{585715}}{1560}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 28600 lukuun 40\sqrt{585715}.

$$x=\frac{40\sqrt{585715}+28600}{1560}$$

Jaa 28600+40\sqrt{585715} luvulla 1560.

$$x=\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28600±40\sqrt{585715}}{1560}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40\sqrt{585715} luvusta 28600.

$$x=\frac{28600-40\sqrt{585715}}{1560}$$

Jaa 28600-40\sqrt{585715} luvulla 1560.

$$x=-\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3} x=-\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$780x^{2}-28600x-38200=0$$

Lisää 38200 yhtälön kummallekin puolelle.

$$780x^{2}-28600x-38200-\left(-38200\right)=-\left(-38200\right)$$

Kun luku -38200 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$780x^{2}-28600x=-\left(-38200\right)$$

Vähennä -38200 luvusta 0.

$$780x^{2}-28600x=38200$$

Jaa molemmat puolet luvulla 780.

$$\frac{780x^{2}-28600x}{780}=\frac{38200}{780}$$

Jakaminen luvulla 780 kumoaa kertomisen luvulla 780.

$$x^{2}+\left(-\frac{28600}{780}\right)x=\frac{38200}{780}$$

Supista murtoluku \frac{-28600}{780} luvulla 260.

$$x^{2}-\frac{110}{3}x=\frac{38200}{780}$$

Supista murtoluku \frac{38200}{780} luvulla 20.

$$x^{2}-\frac{110}{3}x=\frac{1910}{39}$$

Jaa -\frac{110}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{55}{3}. Lisää sitten -\frac{55}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{110}{3}x+\left(-\frac{55}{3}\right)^{2}=\frac{1910}{39}+\left(-\frac{55}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{55}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{110}{3}x+\frac{3025}{9}=\frac{1910}{39}+\frac{3025}{9}$$

Lisää \frac{1910}{39} lukuun \frac{3025}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{110}{3}x+\frac{3025}{9}=\frac{45055}{117}$$

Jaa x^{2}-\frac{110}{3}x+\frac{3025}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{55}{3}\right)^{2}=\frac{45055}{117}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{55}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45055}{117}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{55}{3}=\frac{\sqrt{585715}}{39} x-\frac{55}{3}=-\frac{\sqrt{585715}}{39}$$

Lisää \frac{55}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3} x=-\frac{\sqrt{585715}}{39}+\frac{55}{3}$$