Ratkaise 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 1 luvusta 772 saadaksesi tuloksen 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön 771-2x^{2}+x korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan -771 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} ja x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} ja x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ovat molemmat ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} ja x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ovat molemmat ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$