Ratkaise 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 15x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-3 b=10$$

Kirjoita \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) uudelleen muodossa 15x^{2}+7x-2.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 5x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x-1=0 ja 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 75, b luvulla 35 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Korota 35 neliöön.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kerro -4 ja 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kerro -300 ja -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Lisää 1225 lukuun 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Ota luvun 4225 neliöjuuri.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Kerro 2 ja 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-35±65}{150}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -35 lukuun 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Supista murtoluku \frac{30}{150} luvulla 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-35±65}{150}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 65 luvusta -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Supista murtoluku \frac{-100}{150} luvulla 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Jakaminen luvulla 75 kumoaa kertomisen luvulla 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Supista murtoluku \frac{35}{75} luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Supista murtoluku \frac{10}{75} luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Jaa \frac{7}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{30}. Lisää sitten \frac{7}{30}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{30} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Lisää \frac{2}{15} lukuun \frac{49}{900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Vähennä \frac{7}{30} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$