Ratkaise 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$7x-15y-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x-15y=2$$

Lisää 15y yhtälön kummallekin puolelle.

$$7x=15y+2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Kerro \frac{1}{7} ja 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Korvaa x arvolla \frac{15y+2}{7} toisessa yhtälössä, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Lisää \frac{15y}{7} lukuun 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Vähennä \frac{2}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{29}{7}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=\frac{19}{29}$$

Korvaa y arvolla \frac{19}{29} yhtälössä x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Kerro \frac{15}{7} ja \frac{19}{29} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Lisää \frac{2}{7} lukuun \frac{285}{203} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{49}{29}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Jos haluat saada luvut 7x ja x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Sievennä.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Vähennä 7x+14y=21 lausekkeesta 7x-15y-2=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Lisää 7x lukuun -7x. Termit 7x ja -7x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-15y-14y-2=-21$$

Lisää -15y lukuun -14y.

$$-29y-2=-21$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-29y=-19$$

Jaa molemmat puolet luvulla -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Korvaa y arvolla \frac{19}{29} yhtälössä x+2y=3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Kerro 2 ja \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Vähennä \frac{38}{29} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{49}{29}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$