Ratkaise 7x^2-4x+6=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}\approx 0,285714286+0,880630572i$$

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}\approx 0,285714286-0,880630572i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -4 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\times 6}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-168}}{2\times 7}$$

Lisää 16 lukuun -168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-152}}{2\times 7}$$

Ota luvun -152 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{38}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{38}i}{14}$$

Jaa 4+2i\sqrt{38} luvulla 14.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{38} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{38}i+4}{14}$$

Jaa 4-2i\sqrt{38} luvulla 14.

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-4x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}-4x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=-\frac{6}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=-\frac{6}{7}$$

Jaa -\frac{4}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{7}. Lisää sitten -\frac{2}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{6}{7}+\frac{4}{49}$$

Lisää -\frac{6}{7} lukuun \frac{4}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{38}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{38}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{38}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{38}i}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{38}i}{7}$$

Lisää \frac{2}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$